Himpunan bilangan bulat dan riil dan juga skemanya

Pembahasan tentang bilangan bulat (integers) tidak bisa dipisahkan dari uraian tantang bilangan asli (natural numbers) dan bilangan cacah (whole members) karena kreasi tentang bilangan-bilangan ini merupakan proses sosial dan budaya yang berlangsung berurutan dalam waktu ribuan tahun.

Konsep tentang bilangan dan cara mencacah (menghitung, counting) berkembang selama sekitar 15.000 tahun, mulai dari zaman prasejarah (poleolithic, Old Stone Age) sampai dengan zaman sejarah (sekitar tahun 400 S.M.). Dalam periode atau zaman ini, mereka diduga telah emmpelajari cara bertani atau bercocok taman, cara berternak, cara menggunakankaleder, cara mengukur atau menimbang berat, cara memindahkan barang dengan kereta atau gerobak, cara membuat perahu, cara berburu, cara pengobatan tradisional, dan cara berhitung.

1. Bilangan Asli

Sejak periode sejarah, diduga dimulai sekitar tahun 400 S.M., orang melalui memikirkan bilangan sebagai konsep abstrak. Misalnya, mereka menyebut tiga kerikil dan tiga binatang mempunyai sifat persekutuan, yaitu suatu kuantitas yang disebut tiga. Sifat persekutuan tiga ini bisa dimiliki oleh kelompok benda apa saja sehingga sifat ini menjadi terbatas dari obyek atau sasaran pembicaraan. Dalam istilah yang lebih sederhana, sifat-sifat persekutuan satuan (oneness), duaan (twoness), atau tigaan (threeness) merupakan sifat persekutuan yang dimiliki oleh sebarang kumpulan benda untuk menunjukkan kesamaan kuantitas.

Keperluan tentang kuantitas merupakan kebutuhan dasar manusia dalam kehidupan berkeluarga dan bermasyarakat, terutama untuk menghitung (mencacah) dan mem­ban­dingkan jumlah barang atau benda.

Ke­perluan menghitung (mencacah, counting) mendorong orang untuk mencari cara yang mudah, antara lain dengan membuat lambang bilangan (muneral) dan cara me­ng­gu­nakannya (sistem numerasi). Sistem numerasi membuat sekumpulan lambang dasar dan sejumlah atauran untuk menghasilkan lambang-lambang bilangan yang lain. Beberapa peradaban yang telah mengembangkan sistem numerasi antara lain adalah Mesir (sekitar tahun 3000 S.M.), Babylonia (sekitar tahun 2000 S.M.), Yunani atau Greek (sekitar tahun 600 S.M.), Mayan (sekitar tahun 300 S.M.), Jepang – China (sekitar tahun 200 S.M.), Romawi (sekitar tahun 100 M), dan Hindu-Arab (mulai sekitar tahun 300 S.M. di India, mengalami perubahan di wilayah timur tengah sekitar tahun 750 Masehi, berkembang di Eropa dan dipakai di seluruh dunia sampai sekarang). Dari uraian di atas kita dengan singkat telah melihat perjalanan pengembangan konsep bilangan sejak pertama kali pada zaman Poleolithic sampai pada zaman sejarah. Dengan demikian kita perlu membuat asumsi bahwa manusia telah menemukan konsep bilangan asli (counting/natural members) dan telah menemukan himpunan lambang untuk me­nya­takan konsep bilangan asli yaitu 1, 2, 3, 4, …

Untuk selanjutnya himpunan bilangan asli dinyatakan dengan

N = {1, 2, 3, 4, … }

2.  Bilangan Cacah

Untuk kepentingan masyarakat zaman pertanian, sebelum zaman revolusi, mereka hanya memerlukan mencacah, menjumlah, dan mengalikan. Seiring dengan per­kem­bangan zaman, mesyarakat memerlukan sistem bilangan yang dapat memenuhi ke­per­lu­an lain, yaitu mengurangkan dan membagi. Dengan demikian mereka mem­pu­nyai tun­tutan pekerjaan yang tidak sekedar berhitung (aritmetika) tetapi hal lain yang lebih luas.

Jika sebelumnya mereka menerima pernyataan tanpa bukti (postulat):

p + q  adalah suatu bilangan asli

p x q  adalah suatu bilangan asli

maka kesulitan akan muncul ketika pengertian pengurangan mulai diperkenalkan melalui penjumlahan:

p – q =  r  jika ada r sedemikian hingga p = q + r

Kita bisa melihat kesulitan itu. Pengurangan pada unsur-unsur hipunan bilangan asli dapat dilakukan hanya jika p lebih dari q, artinya himpunan bilangan asli tidak bersifat tertutup terhadap pengurangan. Pada awalnya tentu mereka memahami bahwa:

3 – 2 =  1, 4 – 3 = 1, 5 – 4 =  1

dan mulai mempertanyakan bagaimana dengan

3 – 3 = ? , 4 – 4 = ?,  5 – 5 = ?

Jawabannya adalah mereka perlu “tambahan” bilangan baru, yang kemudian disebut dengan nol (zero), yang diberi makna:

3 = 3 + 0, 4 = 4 + 0, 5 = 5 + 0

Sekarang kita telah menambahkan unsur baru 0 ke dalam sistem bilangan asli, sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan cacah, dinyatakan dengan:

W = {0, 1, 2, 3, 4, …}

3.  Bilangan Bulat

Dengan berkembangnya masyarakat industri, manusia memerlukan bilangan untuk ke­perluan pembukuan tingkat lanjut, antara lain untuk menghitung hutang dan pihutang, serta tabungan dan pinjaman. Pertanyaan yang muncul serupa dengan permasalahan:

6 – 7 = ?,  8 – 10 = ?, 3 – 10 = ?

Permasalahan ini serupa dengan usaha menambah bilangan-bilangan baru di dalam W sehingga mereka dapat melakukan semua pengurangan, atau himpunan baru yang di­peroleh bersifat tertutup terhadap pengurangan.

Jawaban terhadap kesulitan mereka adalah tambahan bilangan-bilangan baru yang diperoleh dari:

0 – 1, 0 – 2, 0 – 3, 0 – 4, …

yang kemudian dilambangkan dengan:

-1, -2, -3, -4, …

sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan bulat, dan dinyatakan dengan:

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Dengan  digunakannya garis bilangan untuk menyatakan representasi bilangan, dan mem­beri makna terhadap bilangan-bilangan di sebelah kanan nol sebagai bilangan po­sitif serta di sebelah kiri nol sebagai bilangan negatif, maka himpunan bilangan bulat da­pat dinyatakan sebagai:

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

 

 

SISTEM   BILANGAN   RIIL

Sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya merupakan salah satu pilarutama dalam matematika, khususnya kalkulus. Dengan sistem bilanganini beserta operasi-operasi yang berlaku di dalamnya permasalahankomputasi matematika menjadi jelas dan mudah dilakukan. Namunsebelum meninjau lebih jauh mengenai apakah bilangan riil itu dan apasajakah sifat-sifatnya, akan ditinjau terlebih dahulu sistem bilangan yanglebih sederhana.

Beberapa  Sistem  Bilangan

 1. Sistem Bilangan Asli

Di antara bilangan yang sudah dikenal, bilangan asli merupakanbilangan yang paling sederhana. Dengan bilangan ini, kita dapatmenghitung obyek atau benda-benda yang ada di sekitar kita. Notasiuntuk himpunan semua bilangan asli adalah N= {1, 2, 3, … }.Himpunan ini beserta operasi tambah (+) dan kali (x) yang bersifattertutup di dalamnya atau dinotasikan dengan (N, +, x) membentuk suatusistem yang dinamakan sistem bilangan asli.

 

2. Sistem Bilangan Bulat

 Jika pada himpunan semua bilangan asli di atas ditambahkannegatifnya dan bilangan 0 sebagai unsur netral terhadap operasi +, maka  diperoleh himpunan Z = {0,±1,±2,±3, …}yang dinamakan himpunan semua bilangan bulat. Terhadap operasi + dan x yang bersifat tertutup di dalamnya,himpunan semua bilangan bulat Z ini atau (Z, +, x) membentuk suatusistem yang dinamakan sistem bilangan bulat.

 

3. Sistem Bilangan Rasional

Pada beberapa pengukuran besaran seperti pengukuran panjang,suhu atau arus listrik, bilangan-bilangan bulat boleh dikatakan tidakmemadai lagi, karena kurang memberikan ketelitian yang cukup baik.Oleh karena itu, hasil bagi dari bilangan-bilangan bulat seperti 41,32−,83,716−,54 dan11− sangat diperlukan. Perlu diperhatikan bahwa, kitatidak diperkenankan membagi suatu bilangan dengan nol.Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk nm, dengan m dan n adalah bilangan-bilangan bulat dan 0≠n, disebut bilangan-bilangan rasional. Selanjutnya himpunan semua bilangan rasional inidinotasikan  dengan   Q, sehingga Q =≠∈0dan,|n Z nm nm.