Matematika operasi antar himpunan dan diagram venn

Diagram Venn

Relasi antar himpunan sering disajikan dalam bentuk diagram, misalnya untuk relasi himpunan bagian maupun relasi saling lepas. Himpunan semesta biasanya digambarkan dalam bentuk persegipanjang yang melingkupi himpunan yang dibicarakan dimana notasi S dituliskan di sudut kiri atas bagian dalam. Gambar untuk himpunan-himpunan biasanya berupa lingkaran. Sedangkan anggota suatu himpunan dinotasikan dengan titik yang berada di dalam daerah lingkaran.

Diagram tersebut dinamakan diagram Venn sebagai penghargaan kepada ahli logika John Venn (1834-1923). Diagram Venn terkadang disebut Lingkaran Euler sebagai penghargaan kepada matematikawan Swiss, Leonhard Euler ( 1707 – 1783), yang pertama kali menggunakan daerah lingkaran dalam bidang logika. Diagram Venn digunakan untuk mempermudah pemahaman tentang himpunan, selain digunakan juga untuk memperjelas prinsip-prinsip logika.

Misalkan H = {a, i, u, e, o} sedangkan semestanya adalah himpunan S = {e, u, r, o, b, a, l, i}. Diagram Venn untuk himpunan H adalah

Misalkan A dan B dua himpunan dalam himpunan semesta S, apabila A Ì B, berarti pada diagram Venn himpunan A berada di dalam daerah himpunan B. Sedangkan apabila A dan B saling lepas, maka kedua lingkaran untuk A maupun B tidak beririsan. Perhatikan diagram Venn berikut.

5. Operasi Himpunan

Dalam himpunan bilangan real maupun himpunan bilangan bulat terdapat operasi dua bilangan seperti penjumlahan, perkalian dan pengurangan. Serupa dengan hal tersebut, dari dua himpunan dapat dilakukan operasi biner, yakni gabungan, irisan dan selisih.

Gabungan himpunan A dan B, dinotasikan A È B, adalah berupa himpunan yang anggotanya adalah anggota dari A atau B. Dalam notasi pembentuk himpunan, gabungan dua himpunan A dan B dinyatakan sebagai:

A È B = {x | x Î A atau x Î B }.

Diagram Venn dari operasi gabungan A dan B dinyatakan dengan daerah arsiran berikut:

Irisan dari himpunan A dan B, dinotasikan dengan A Ç B, adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota dari A yang juga anggota dari B. Dalam notasi pembentuk himpunan, irisan himpunan A dan B didefinisikan

A Ç B = {x | x Î A dan x Î B }.

Untuk mempermudah penulisan, kata “dan” cukup ditulis dengan tanda koma “,”. Sehingga

A Ç B = {x | x Î A, x Î B }.

Diagram Venn untuk operasi irisan A dan B adalah:

Selisih himpunan A terhadap B didefinisikan sebagai

A \ B = {x | x Î A , x Ï B },

yakni merupakan himpunan yang beranggotakan semua anggota A yang tidak menjadi anggota B. Tanda garis miring “\” dapat juga diganti dengan tanda kurang “- “. Adapun diagram Venn dari A \ B adalah

Misal A = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B = { 2, 3, 5, 7 }, maka A È B = { 1, 2, 3, 5, 7, 9}, A Ç B = { 3, 5, 7 }, A\B = {1,9}, dan B\A = { 2 } dengan diagram Venn:

Misalkan A, B dan C adalah himpunan-himpunan dalam himpunan semesta S. Sifat-sifat yang berlaku dalam operasi gabungan dan irisan adalah

Sifat Idempoten (1a) A È A = A (1b) A Ç A = A

Sifat Komutatif (2a) A È B = B È A (2b) A Ç B = B Ç A

Sifat Asosiatif (3a) AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC (3b) AÇ(BÇC) = (AÇB)ÇC

Sifat Distributif (4a) AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC) (4b) AÇ (BÈC) = (AÇB)È(AÇC)

Sifat Identitas (5a) A È Æ = A (5b) A Ç S = A (6a) A È S = S (6b) A Ç Æ = Æ

Adapun operasi selisih dua himpunan tidak memenuhi sifat idempoten maupun sifat komutatif. Hal ini dikarenakan bahwa A \ A = Æ sedangkan A \ B tidak selalu sama dengan B \ A sebagaimana contoh di atas.

Sekarang misalkan A merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta S, semua anggota S yang bukan anggota A membentuk himpunan yang disebut komplemen A, dinotasikan dengan A^c. Notasi pembentuk himpunan dari komplemen A adalah

A^c = {x | x Î S , x Ï A }

(A^c dibaca komplemen A). Perlu diperhatikan bahwa simbol komplemen A^c kadangkala ditulis sebagai A¢ atau . Diagram Venn dari komplemen A digambarkan sebagai daerah yang diarsir seperti berikut

Misalkan himpunan semesta S adalah himpunan semua bilangan bulat antara 1 dan 10, sedang A = { 2, 4 , 6 ,8 }. Dalam hal ini didapat S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, sehingga A^c = { 3, 5, 7, 9 }. Diagram Vennnya adalah